dreamstime_l_17234844.jpg
ΜΗΧΑΝΙΚΗ  ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣΜΗΧΑΝΙΚΗ  ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣ
ΚΥΛΙΣΗ  ΔΙΣΚΟΥΚΥΛΙΣΗ  ΔΙΣΚΟΥ
ΜΕ   ΟΛΙΣΘΗΣΗΜΕ   ΟΛΙΣΘΗΣΗ
ΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Θα ξαναγυρίσει ή όχι;Θα ξαναγυρίσει ή όχι;
Ηλίας Σιτσανλής Πριν αναλύσουμε το πρόβλημα, ας «παίξουμε» με μια πολύ ωραία προσομοίωση πουμας προσφέρει ο πολύ καλός συνάδελφος Ηλίας Σιτσανλής (αν δεν εμφανίζεται ηπροσομοίωση σημαίνει ότι χρειάζεστε τον flash player).
Περίπτωση 1η
Περίπτωση 2η
Βάλτε τις προτεινόμενες τιμές για να δείτε τις περιπτώσεις που θα αναλύσουμε.
Τσεκάρετε το «δυνάμεις πάνω στο σώμα» και πατήστε «επανεκκίνηση» πριν ξεκινήσετε.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Εκτοξεύουμε έναν ομογενή δίσκο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζεισυντελεστή τριβής ολίσθησης μ=1/3, με τρόπο ώστε:
i.Nα εφάπτεται στο επίπεδο.
ii.     H ταχύτητα του κέντρου μάζας του είναι οριζόντια με μέτρο υο=10 m/s.
iii.     Η γωνιακή του ταχύτητα είναι αριστερόστροφη και έχει μέτρο ωο.
υο
ωο
Η μάζα του είναι m=7kg η ακτίνα του R=0,1m και η ροπή αδράνειας του ως προςάξονα διερχόμενο απ’ το κέντρο του είναι Ic.m=mR²/2.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s².
Να αναλύσετε την κίνηση του δίσκου πάνω στο επίπεδο. Να αναλύσετε την κίνηση του δίσκου πάνω στο επίπεδο.
Η κίνηση του δίσκου είναι μια σύνθετη κίνηση.
Κάθε σημείο του, εκτός απ’ το κέντρο μάζας του, συμμετέχει σε δυο κινήσεις.
Στη μεταφορική και στην περιστροφική.
Το κέντρο μάζας είναι το μοναδικό σημείο που κάνει μόνο μεταφορική κίνηση.
Ας «δούμε» τις ταχύτητες δυο σημείων του δίσκου. Του κέντρου μάζας  και τουκατώτερου σημείου του Α.
 
Κέντρο μάζας (c.m)
υο
Κατώτερο σημείο Α
υο
Η μεταφορική κίνηση
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
υ
ακεντρ
αεπιτρ
αγραμ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Κέντρο μάζας (c.m)
ακεντρ
Ανώτερο σημείο Α
υΑ
Κέντρο μάζας (c.m)
υο
Η περιστροφική κίνηση
Κατώτερο σημείο Α
υγρ
Η ταχύτητα κάθε σημείου του κυλιόμενου δίσκου, είναι το διανυσματικό άθροισμα:
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
R
Επομένως για το κατώτερο σημείο Α του δίσκου, το οποίο είναι σε επαφή μετο δρόμο,  την t=0 η ταχύτητά του θα είναι:
Κύλιση χωρίς ολίσθηση έχουμε όταν το σημείο της κυλιόμενης περιφέρειας, το οποίοεφάπτεται στην επιφάνεια πάνω στην οποία συμβαίνει η κύλιση, έχει την ίδιαταχύτητα με αυτή. Στην περίπτωση ακίνητου δρόμου, η ταχύτητα είναι μηδενική.
υο
υο
υγρ
A
Στην περίπτωσή μας το σημείο A έχει ταχύτητα προς τα δεξιά, άρα ο δίσκος, με τοπου αγγίζει το έδαφος, ολισθαίνει.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Συνέπεια της ολίσθησης είναι, στο σημείο επαφής του δίσκου με το δρόμο, να εμφανιστείδύναμη τριβής ολίσθησης, αντίρροπη της φοράς κίνησης του σημείου αυτού.
Τολ
υΑ
Τολ
w
N
υο
υο
Έτσι για τη μεταφορική κίνηση του δίσκου, θα είναι:
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Τολ
υο
Για την περιστροφική  κίνηση του δίσκου, θα είναι:
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Τολ
υο
Παρατηρώντας τις σχέσεις (2) και (5) ή (7):
Βλέπουμε ότι και η μεταφορική κίνηση και η περιστροφική είναι ομαλά επιβραδυνόμενεςκινήσεις.
Το ενδιαφέρον βρίσκεται σε ποια κίνηση θα μηδενιστεί  η ταχύτητά της πρώτη.Το ενδιαφέρον βρίσκεται σε ποια κίνηση θα μηδενιστεί  η ταχύτητά της πρώτη.
υ
ακεντρ
αεπιτρ
αγραμ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Κέντρο μάζας (c.m)
ακεντρ
Ανώτερο σημείο Α
υΑ
Περίπτωση 1ΗΠερίπτωση 1Η
ωο=400rad/sωο=400rad/s
Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=3s σταματά η μεταφορική κίνηση του δίσκου, ενώταυτόχρονα συνεχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα.Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=3s σταματά η μεταφορική κίνηση του δίσκου, ενώταυτόχρονα συνεχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα.
Η συνεχιζόμενη περιστροφή διατηρεί την τριβή ολίσθησης στο κατώτεροσημείο Α.
Τολ
A
μεταφορικά προς τααριστερά Η δύναμη αυτή, αναγκάζει το δίσκο να επιταχυνθεί μεταφορικά προς τααριστερά με μεταφορική επιτάχυνση:
Ενώ ταυτόχρονα συνεχίζει να επιβραδύνει την περιστροφή του δίσκου.
Δηλαδή ο δίσκος που εκτοξεύσαμε επιστρέφει προς τη θέση εκτόξευσης.Δηλαδή ο δίσκος που εκτοξεύσαμε επιστρέφει προς τη θέση εκτόξευσης.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Ο δίσκος θα κινηθεί κάπως έτσι:
Αν παρατηρήσουμε το κατώτερο σημείο του δίσκου,βλέπουμε ότι συνεχίζει να ολισθαίνειπάνω στο δρόμο.
Αν θελήσουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητά του σημείου αυτού, η οποία προκύπτει απ’τη σύνθεση της μεταφορικής και περιστροφικής, θα είναι:
Ο δίσκος δε σταματά αλλά συνεχίζειτην ενδιαφέρουσα κίνησή του…...
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=5s η ταχύτητα του κατώτερου σημείου Α του δίσκουγίνεται ίση με την ταχύτητα της επιφάνειας πάνω στην οποία γίνεται η κύλιση, στηνπερίπτωσή μας γίνεται μηδέν.
Αυτή είναι και η προϋπόθεση για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση.Αυτή είναι και η προϋπόθεση για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση.
υοcm =10m/s
υογρ=50m/s
A
Βλέπουμε τις ταχύτητες του κέντρου μάζας
και του κατώτερου σημείου τη στιγμή t=0
υγρ=20m/s
A
Οι ταχύτητες των ίδιων σημείων τη στιγμήπου παύεται η μεταφορική κίνηση (t=3s).
υcm=-20/3m/s
A
Οι ταχύτητες των σημείων τη στιγμή πουαρχίζει η κύλιση (t=5s).
υ
ακεντρ
αεπιτρ
αγραμ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Κέντρο μάζας (c.m)
ακεντρ
Ανώτερο σημείο Α
υΑ
Περίπτωση 2ΗΠερίπτωση 2Η
ωο=200rad/sωο=200rad/s
Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=3s σταματά και η μεταφορική κίνηση του δίσκου και ηπεριστροφική. Η σφαίρα τη χρονική στιγμή t=3s ακινητοποιείται.Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=3s σταματά και η μεταφορική κίνηση του δίσκου και ηπεριστροφική. Η σφαίρα τη χρονική στιγμή t=3s ακινητοποιείται.
υ
ακεντρ
αεπιτρ
αγραμ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Κέντρο μάζας (c.m)
ακεντρ
Ανώτερο σημείο Α
υΑ
Περίπτωση 3ΗΠερίπτωση 3Η
ωο=200/3 rad/sωο=200/3 rad/s
Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=1s σταματά η περιστροφική κίνηση του δίσκου ενώ ημεταφορική κίνηση συνεχίζεται προς τα δεξιά.Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=1s σταματά η περιστροφική κίνηση του δίσκου ενώ ημεταφορική κίνηση συνεχίζεται προς τα δεξιά.
Η συνεχιζόμενη μεταφορά διατηρεί την τριβή ολίσθησης στο κατώτεροσημείο Α.
Τολ
A
επιταχυνθεί περιστροφικάπρος τα δεξιά Η ροπή αυτής της δύναμης, αναγκάζει το δίσκο να  επιταχυνθεί περιστροφικάπρος τα δεξιά με γωνιακή επιτάχυνση:
Ενώ ταυτόχρονα συνεχίζει να επιβραδύνει τη μεταφορική κίνηση του δίσκου.
Δηλαδή ο δίσκος που εκτοξεύσαμε απομακρύνεται συνεχώς απ’ τη θέσηεκτόξευσης.Δηλαδή ο δίσκος που εκτοξεύσαμε απομακρύνεται συνεχώς απ’ τη θέσηεκτόξευσης.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Ο δίσκος θα κινηθεί κάπως έτσι:
Αν παρατηρήσουμε το κατώτερο σημείο του δίσκου βλέπουμε ότι συνεχίζει να ολισθαίνειπάνω στο δρόμο.
Αν θελήσουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητά του σημείου αυτού, η οποία προκύπτει απ’τη σύνθεση της μεταφορικής και περιστροφικής, θα είναι:
Ο δίσκος δε σταματά αλλά συνεχίζειτην ενδιαφέρουσα κίνησή του…...
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t=5/3 s η ταχύτητα του κατώτερου σημείου Α του δίσκουγίνεται ίση με την ταχύτητα της επιφάνειας πάνω στην οποία γίνεται η κύλιση, στηνπερίπτωσή μας γίνεται μηδέν.
Άρα θα έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση.Άρα θα έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση.
υοcm =10m/s
υογρ=50/3 m/s
A
Βλέπουμε τις ταχύτητες του κέντρου μάζας
και του κατώτερου σημείου τη στιγμή t=0
υA=20/3 m/s
A
Οι ταχύτητες των ίδιων σημείων τη στιγμήπου παύεται η περιστροφική κίνηση (t=1s).
υcm=20/3m/s
υcm=40/9 m/s
A
Οι ταχύτητες των σημείων τη στιγμή πουαρχίζει η κύλιση (t=5/3s).
Για τους μαθητές του φροντιστηρίουΓια τους μαθητές του φροντιστηρίου
ΑΝΟΔΙΚΟΑΝΟΔΙΚΟ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ